Prenons un cas concret ...
Remboursement de 9800€ par des annuités de 447,73€ en 24 mensualités !
Rappel
la formule est : V_0= a \times{ 1 - (1+t)^{-n} \over t} avec
- V0 : le capital
- a l’annuité
- t le taux
- n la durée
La solution
On sait que t > 0
On doit alors résoudre 9800= 447,73 \times{ 1 - (1+t)^{-24} \over t}
que l’on peut écrire
- 21,8881915 = { 1 - (1+t)^{-24} \over t} ( écriture 1)
- 21,8881915\times t = { 1 - (1+t)^{-24}} ( écriture 2)
Prenons le cas où t>=1 et l’écriture 2
alors 21,8881915 \times t > 1 et { 1 - (1+t)^{-24}} < 1
On arrive à une contradiction ! Donc t est compris entre 0 et 1
On travaille alors pas dichotomie !!! Mais c’est là que l’utilisation d’un tableur devient génial ! On va automatiser le calcul afin d’aller encore plus vite que la dichotomie classique !
Il suffit de créer une colonne t et une colonne { 1 - (1+t)^{-n} \over t}
D’après l’écriture 1, on va chercher des solutions proches de 21,8881915 !
Pour ce cas, on arrive à une réponse de 0,75% en seulement deux étapes si on part de 0< t < 1
capital | 9 800,00 € | ||||||
Annuité | 447,73 € | ||||||
durée | 24 | ||||||
Taux t | (1-(1+t)^-n) / t | Ecart | Taux t | (1-(1+t)^-n) / t | Ecart | ||
0,00% | #DIV/0! | #DIV/0! | 0,700% | 22,02 | 0,133 | ||
0,10% | 23,7 | 1,81 | 0,710% | 22 | 0,107 | ||
0,20% | 23,41 | 1,52 | 0,720% | 21,97 | 0,080 | ||
0,30% | 23,12 | 1,23 | 0,730% | 21,94 | 0,054 | ||
0,40% | 22,84 | 0,95 | 0,740% | 21,92 | 0,027 | ||
0,50% | 22,56 | 0,67 | 0,750% | 21,89 | 0,001 | ||
0,60% | 22,29 | 0,4 | 0,760% | 21,86 | -0,025 | ||
0,70% | 22,02 | 0,13 | 0,770% | 21,84 | -0,052 | ||
0,80% | 21,76 | -0,13 | 0,780% | 21,81 | -0,078 | ||
0,90% | 21,5 | -0,39 | 0,790% | 21,78 | -0,104 | ||
1,00% | 21,24 | -0,64 | 0,800% | 21,76 | -0,130 |
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